DAP AN VA ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Môn thi: Toán (khối B) (Thời gian làm bài: 180 phút)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình x2 x2  2  m có đúng 6 nghiệm thực phân
biệt?
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình sin x  cos x sin 2x  3 cos3x  2(cos 4x  sin3 x)
2. Giải hệ phương trình 2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
   
 
   
􀀀
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
3
2
1
I 3 ln x dx
(x 1)


 
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt
phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và 􀀀BAC = 600. Hình chiếu vuông góc
của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích
khối tứ diện A’ABC theo a.
Câu V (1 điểm)
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2)2 y2 4
5
   và hai đường
thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn
(C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn
(C)
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng
cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z  (2  i)  10 và z.z  25
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và
các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C ,
biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
x2 1 y
x

 tại
2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4.
BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I.
1. y = 2x4 – 4x2 . TXĐ : D = R
y’ = 8x3 – 8x; y’ = 0  x = 0  x = 1;
x
lim

 
x  1 0 1 +
y'  0 + 0  0 +
y + 0 +
2 CĐ 2
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( 2 ;0)
2. x2x2 – 2 = m  2x2x2 – 2 = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m
Ta có (C’)  (C); nếu x  - 2 hay x  2
(C’) đối xứng với (C) qua trục hoành nếu - 2 < x < 2
Theo đồ thị ta thấy ycbt  0 < 2m < 2  0 < m < 1
2
x
y
1 1
0
 2 2
(C’)
2
x
y
 2 1 0 1 2
(C)
Câu II.
1. sinx+cosxsin2x+ 3 cos3x  2(cos 4x  s i n3x)
3 sin x 1 sin 3x 3 cos3x 2cos4x 3sin x sin 3x
2 2 2
sin 3x 3 cos3x 2cos4x
1 sin 3x 3 cos3x cos4x
2 2
sin sin3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
4x 3x k2 x k 2
6 42 7

    
  
  
 
  
       
 
              
 
          
 
2.  2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
  
  
y = 0 hệ vô nghiệm
y  0 hệ 
2
2
x x 1 7
y y
x x 1 13
y y
    

   

Đặt a = x 1
y
 ; b = x
y
 2 2
2
a x 1 2 x
y y
    2 2
2
x 1 a 2b
y
  
Ta có hệ là  2
a b 7
a b 13
 
    2
a b 7
a a 20 0
 
  
 a 4
b 3

 hay a 5
b 12
 
 . Vậy
x 1 4
y
x 3
y
   

 

hay
x 1 5
y
x 12
y
    

 

  x2 4x 3 0
x 3y
  
 hay  x2 5x 12 0
x 12y
  
 (VN) 
x 1
y 1
3
 
  
hay x 3
y 1

Câu III :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 3
1 2
1 1
3
2 2
1
I 3 ln x dx 3 dx ln x dx
(x 1) (x 1) (x 1)
I 3 dx 3 3
(x 1) (x 1) 4
I ln x dx
(x 1)

  
  

  
 


  


Đặt u = lnx du dx
x
 
2
dv dx .
(x 1)


Chọn v 1
x 1



3 3 3 3
2
1 1 1 1
I ln x dx ln 3 dx dx ln3 ln 3
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
         
     
Vậy : I 3 (1 ln 3) ln 2
4
  
Câu IV.
BH=
2
a , 2 1 3 3
3 2 2 4
BH BN a a
BN
    ; ' 3
2
B H  a
goïi CA= x, BA=2x, BC  x 3
2
2 2 2 2
2
BA  BC  BN  CA
2 2
3 2 4 2 2 3
4 2
 x  x   a   x  
 
2
2 9
52
 x  a
Ta có: ' ' 3 3
2 2
B H  BB  a
V=
2 3
1 1 2 3 3 1 9 3 9
3 2 2 12 52 2 208
 x  a  a a  a  
 
Câu V :
3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0
             
   
2
x2 y2 (x y) 1
2 2

    dấu “=” xảy ra khi : x y 1
2
 
Ta có :
2 2 2
x2y2 (x y )
4


A  3x4  y4  x2y2  2(x2  y2 ) 1  3(x2  y2 )2  x2y2   2(x2  y2 ) 1
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 (x y ) (x y ) 2(x y ) 1
4
9 (x y ) 2(x y ) 1
4
  
       
 
    
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1
2
f (t) 9 t2 2t 1, t 1
4 2
f '(t) 9 t 2 0 t 1
2 2
f (t) f (1) 9
2 16
   
    
  
Vậy : min
A 9 khi x y 1
16 2
  
C A
B
M
N
H
Câu VIa.
1. Phương trình 2 phân giác (1, 2) : x y x 7y
2 5 2
 
 
1
2
5(x y) (x 7y)
5(x y) x 7y y 2x :d
5(x y) x 7y y 1 x : d
2
    
                
Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 = 4
5
25x2 – 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)
Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và (C) : (x – 2)2 +
2 x 4
2 5
    
 
25x2  80x  64  0  x = 8
5
. Vậy K 8 ; 4
5 5
 
 
 
R = d (K, 1) = 2 2
5
2. TH1 : (P) // CD. Ta có : AB  (3;1;2),CD  (2;4;0)
 
(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
     
     
    
 
TH2 : (P) qua I(1;1;1) là trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
    
 
       
 

Câu VIb.
1.
1 4 4 9 AH
2 2
S 1 AH.BC 18 BC 36 36 4 2 2 AH 9
2
  
 
     
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4 7 1 H: H ;
x y 3 2 2
              
B(m;m – 4)
2 2 2
2
2
HB BC 8 m 7 m 4 1
4 2 2
m 7 2 11
m 7 4 2 2
2 m 7 2 3
2 2
               
   
           
      
Vậy 1 1 2 2
B 11; 3 C 3 ; 5 hayB 3 ; 5 C 11; 3
2 2 2 2 2 2 2 2
                  
       
2. AB  (4;1;2); nP  (1;2;2)
 
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
 x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi  là đường thẳng bất kỳ qua A
Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có :
d(B, )  BH; d (B, ) đạt min   qua A và H.
Pt tham số
x 1 t
BH: y 1 2t
z 3 2t
  
    

  
Tọa độ H = BH  (Q) thỏa hệ phương trình :
x 1 t, y 1 2t,z 3 2t
x 2y 2z 1 0
       

    
t 10
9
   H 1 ;11; 7
9 9 9
    
 
 qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP a AH 1 26;11; 2
9    
 
Pt () : x 3 y 0 z 1
26 11 2
  
 

Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y  R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i
z – (2 + i)= 10 và z.z  25

2 2
2 2
(x 2) (y 1) 10
x y 25
    
   
  2 2
4x 2y 20
x y 25
 
 
  2
y 10 2x
x 8x 15 0
 
    x 3
y 4

 hay x 5
y 0


Vậy z = 3 + 4i hay z = 5
Câu VII.b.
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :
x2 1 x m
x

  
 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt  0
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
AB = 4  (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16  2(xB – xA)2 = 16
 (xB – xA)2 = 8 
m2 8 8
4
  
  
 
 m2  24  m = 2 6
-----------------------------
Người giải đề: TRẦN MINH THỊNH - TRẦN VĂN TOÀN
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn, TP.HCM
Theo:http://muctim.com.vn/article/media/2009/7-9/30835//Toan2009B.pdf